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鉴于CVaR的机票超售危机预防

 论文栏目:工业工程论文     更新时间:2012-7-5 19:32:30   

鉴于CVaR的机票超售危机预防范文

近年来,随着社会经济的持续快速增长,航空运输业取得了高速发展,越来越多的人选择乘坐飞机作为旅行方式。但在经济全球化的大环境下,航空市场的竞争日趋激烈,一些航空公司纷纷采用收益管理[1]技术,以提高效益。机票超售作为使用最广泛的收益管理手段[2],受到了多家航空公司的关注和青睐。美利坚航空公司在1992年通过实施机票超售策略,带来了2亿5千万美元的额外收入[3];据中国南方航空公司市场部航线管理处统计,该公司在2001年的超售收入近1亿元[2]。事实证明有效的机票超售策略确实能够改善航空公司的效益。

然而,由于乘客行为及航空市场的不确定性,机票超售在给航空公司带来收益的同时,也会带来空座风险和超售风险[4]。以航班容量为界,如果航空公司决策后导致航班起飞时到达的乘客数量小于航班容量,这会造成空座损失,即空座风险;但如果到达的乘客数量大于航班容量,航空公司将不得不拒绝某些已订票的乘客,这将给公司带来直接的商誉损失和收益损失,也就是超售风险。以往有些学者在假设决策者是风险中性的条件下,以收益最大化为目标对超售问题进行了研究。Beckmann[5]建立了通过平衡空位成本和拒绝登机成本的超售模型,并给出了近似最优超售条件;Shlifer等[6]提出了两等级票价结构和两阶段航程的超售模型,随后Belobaba[7]考虑了多等级票价结构的超售模型,并采用启发式方法来求解;Rothstein[8]将超售问题看作一个非齐次马尔科夫决策过程,首次采用了动态规划的方法来研究超售问题;Chatwin[9-10]将超售过程看成马尔科夫生灭过程,建立了多阶段以及连续时间的单一票价超售模型。

然而,现实生活中有很多决策者是风险规避类型的,他们希望能够平衡期望利润和风险以避免造成比较大的损失[11]。在风险规避的环境下,航空公司该如何进行超售决策?为此,本文将采用CVaR方法对这一问题进行研究。CVaR方法是一种能够计量并控制损失的风险管理方法,起源于金融领域的投资风险控制,是对VaR(风险价值)风险度量方法的改进[12]。VaR可理解为在一定的置信水平条件下,已知金融资产的最大可能损失。该方法虽然能够衡量风险,但是一些研究结果和实践经验表明它存在着严重的缺陷[13],如不满足次可加性、凸性等。CVaR方法则有效克服了上述问题,它是指损失超过VaR的条件均值,反映了损失超过VaR时可能遭受的平均损失。

CVaR方法不仅实现了对风险的有效刻画,它排除了随机事件出现在分布末端的小概率事件,能够很好地控制尾部风险即“尖峰”、“厚尾”现象,同时还具备良好的数学性质[14],因此得到了更加广泛的应用和研究。Chen等[15]利用CVaR方法研究经典报童模型,解决了有限信息下的最优订货问题;许明辉等[11]将CVaR方法用于研究带有缺货惩罚的报童模型,并分析了决策者风险偏好程度对最优策略的影响;阳成虎等[16]将这种方法应用于班轮集装箱舱位超订的风险管理,建立了不考虑空箱调运和考虑调运两种情形下的超订模型。可见CVaR方法已经开始应用于指导运营管理领域的研究和实践。本文将CVaR方法用于研究风险规避环境下的航空公司机票超售问题。从损失着手,建立了单一票价等级下的机票超售模型,以风险最小化为目标对模型进行优化处理,得到了最优超售水平满足的条件,并进一步分析了航空公司决策者风险规避程度等因素对最优超售策略的影响,为航空公司的机票超售问题提供了决策依据和管理启示。

1CVaR超售模型

1.1基本假设

在这里,考虑某航班只有单一级别舱位,在订票旺季,航空公司面临着大量乘客的订票请求,需要权衡和决策该接受多少订票(或者说卖出多少张机票),才能将最大的损失控制在一定的置信水平以内。为了方便模型的刻画,需作如下基本假设。

1)航空公司面临的是订票旺季,即乘客的订票需求是无限的,但只有订票成功的乘客才能登机;

2)航空公司的损失由空座损失和超售损失构成,不考虑飞机燃料、乘务人员工资、飞机维修费用等固定费用和损失;

3)航空公司的决策者属于风险规避类型。

1.2符号定义

基于上述基本假设,引入下列符号:C为航班容量,也就是航班可提供的最大座位数量;p为机票价格,p>0;g为单位超售损失,包括对航班起飞时到达却无法登机乘客的赔偿、额外的操作成本、航空公司的信誉损失等(不包含退还的机票票价),g>0;b为航空公司决定售出的机票数量,也就是决定接受的订票数量(其中b≥C),它是决策变量;r为航班起飞时订票乘客的到达率,即实际到达的乘客数量与订票请求被航空公司接受(订票成功)的乘客总数量的比率,于是有0≤r≤1。由于航班起飞时的到达乘客数量具有随机性,因此r也是随机的,记F(r)为r的累积分布函数,f(r)为其概率密度函数;L(b,r)为航空公司在决定接受b个订票请求,且订票乘客到达率为r的情况下,航班飞行一次总的损失,其期望损失记为E[L(b,r)]。

1.3模型建立与优化

根据前面的基本假设以及符号定义,航空公司的损失函数为L(b,r)=p(C-br)++g(br-C)+,(1)其中x+=max{x,0},L(b,r)由两部分构成,第一部分表示航班起飞时,到达乘客数量小于航班的容量所造成的空座损失;第二部分则表示到达乘客数量大于航班的容量,造成部分乘客无法登上航班带来的超售损失。由于p、g均大于零,且0≤r≤1,因此L(b,r)是关于b的凸函数。对于任意的损失阀值α(其中α∈R,R为实数集),损失L(b,r)的概率分布函数为Ψ(b,α)=Pr{L(b,r)≤α}=∫L(b,r)≤αf(r)dr,(2)上式中,Ψ(b,α)则表示损失不超过阀值α的概率。对于固定的决策变量b,Ψ(b,α)是关于α的非减、右连续函数。

在一定的置信水平

β(其中β体现了决策者对风险的态度,是对其风险规避程度的度量。β越大,说明决策者对风险规避的程度越高;β越小,说明决策者对风险规避的程度越低;β=0则意味着决策者是风险中性的。前面已经假设航空公司的决策者是风险规避型类型,因此有β∈(0,1)。)下,VaR风险值用αβ(b)表示为αβ(b)=min{α∈R:Ψ(b,α)≥β}。(3)决策者在得到了最小的风险值以后,往往会考虑和关注如果损失超过了该值,对应的期望损失又是多少,由此引入CVaR,根据其定义,CVaR风险值可用φβ(b)表示为φβ(b)=E[L(b,r)L(b,r)≥αβ(b)]=∫L(b,r)≥αβ(b)L(b,r)f(r)drPr{L(b,r)≥αβ(b)}。(4)根据式(2)、(3)可得Pr{L(b,r)≥αβ(b)}=1-β,(5)将式(5)代入到式(4)中得φβ(b)=(1-β)-1∫L(b,r)≥αβ(b)L(b,r)f(r)dr。(6)

在置信水平β下,航空公司为使其损失最小,其目标转化使得φβ(b)最小。为了求解最优化问题minb≥Cφβ(b),需用到下面的引理。引理1构造关于b和α的函数G,其中Gβ(b,α)=α+(1-β)-1∫r∈[0,1][L(b,r)-α]+f(r)dr,(7)那么Gβ(b,α)是关于α的凸函数,且满足φβ(b)=minα∈RGβ(b,α)。(8)

证明:因为在(1)式中p、g、b均大于零,L(b,r)是b的凸函数,因此Gβ(b,α)是关于b和α的凸函数,假设Aβ(b)=argminα∈RGβ(b,α),那么Aβ(b)是包含α的非空有界闭区间,其VaR值αβ(b)=Aβ(b)的左端点,于是有αβ(b)=argminα∈RGβ(b,α),也就是minα∈RGβ(b,α)=Gβ(b,αβ(b))=αβ(b)+(1-β)-1∫r∈[0,1][L(b,r)-αβ(b)]+f(r)dr。其中∫r∈[0,1][L(b,r)-αβ(b)]+f(r)dr=∫r∈[0,1],L(b,r)≥αβ(b)[L(b,r)-αβ(b)]f(r)dr+0=∫L(b,r)≥αβ(b)L(b,r)f(r)dr-αβ(b)∫L(b,r)≥αβ(b)f(r)dr,同时,由(5)和(6)可知∫L(b,r)≥αβ(b)L(b,r)f(r)dr=(1-β)φβ(b),∫L(b,r)≥αβ(b)f(r)dr=1-β,因此minα∈RGβ(b,α)=αβ(b)+(1-β)-1[(1-β)φβ(b)-αβ(b)(1-β)]=φβ(b)。

证毕。于是最优化问题minb≥Cφβ(b)转化为优化minb≥C{minα∈RGβ(b,α)}。定理1最优化问题minb≥C{minα∈RGβ(b,α)}存在全局最优解,且最优解(b*,α*)满足条件p∫pC-α*pb*0rf(r)dr=g∫1gC+α*gb*rf(r)dr,∫pC-α*pb*0f(r)dr+∫1gC+α*gb*f(r)dr=1-β,0<α*<min{g(b*-C),pC}。(9)

证明:因为Gβ(b,α)是关于b和α的凸函数,同时L(b,r)是b的凸函数,根据Rockafellar等[12,17]的研究结论,最优化问题minb≥C{minα∈RGβ(b,α)}等价于minb≥C,α∈RGβ(b,α),即minb≥C{minα∈RGβ(b,α)}=minb≥C,α∈RGβ(b,α),同时联合最小化问题minb≥C,α∈RGβ(b,α)是一个凸规划问题,存在着全局最优解。注意到minb≥C,α∈RGβ(b,α)=α+(1-β)-1∫r∈[0,1][L(b,r)-α]+f(r)dr,(10)

将式(1)代入到式(10)中,并将其展开可得minb≥C,α∈RGβ(b,α)=α+(1-β)-{1∫Cb0[p(C-br)-α]+f(r)dr+∫1Cb[g(br-C)-α]+f(r)d}r。(11)下面分情况进行讨论。情形①:当α≤0时,Gβ(b,α)=α+(1-β)-{1∫Cb0[p(C-br)-α]f(r)dr+∫1Cb[g(br-C)-α]f(r)}dr,(12)对式(12)分别求关于b和α的一阶偏导数可得Gβ(b,α)b=(1-β)-[1∫Cb0-prf(r)dr+∫1Cbgrf(r)d]r,Gβ(b,α)α=1-(1-β)-1,令Gβ(b,α)b=Gβ(b,α)α=0,得到当且仅当β=0时方程组存在解,显然这与β∈(0,1)是相矛盾的。

情形②:当0<α<min{g(b-C),pC}时,Gβ(b,α)=α+(1-β)-{1∫pC-αpb0[p(C-br)-α]f(r)dr+∫1gC+αgb[g(br-C)-α]f(r)d}r,(13)对(13)式分别计算关于b和α的一阶偏导数,得到Gβ(b,α)b=(1-β)-[1∫pC-αpb0-prf(r)dr+∫1gC+αgbgrf(r)d]r,Gβ(b,α)α=1-(1-β)-[1∫pC-αpb0f(r)dr+∫1gC+αgbf(r)d]r,令Gβ(b,α)b=Gβ(b,α)α=0,得到如下方程组p∫pC-αpb0rf(r)dr=g∫1gC+αgbrf(r)dr∫pC-αpb0f(r)dr+∫1gC+αgbf(r)dr=1-{β(14)同时对式(13)分别计算关于b和α的二阶偏导数,令A=2Gβ(b,α)b2=(1-β)[-1(pC-α)2pb3?(fpC-α)pb+(gC+α)2gb3(fgC+α)]gb,B=2Gβ(b,α)bα=(1-β)[-1pC-αpb2(fpC-α)pb-gC+αgb2(fgC+α)]gb,D=2Gβ(b,α)α2=(1-β)[-11pb(fpC-α)pb+1gb(fgC+α)]gb,由于0<β<1,(fpC-α)pb和(fgC+α)gb均大于零,由此可得A>0,并且满足B2-AD<0,因此二元函数Gβ(b,α)存在极小值,且极小值点满足条件(14)。

情形③:当g(b-C)<α≤pC时,Gβ(b,α)=α+(1-β)-{1∫pC-αpb0[p(C-br)-α]f(r)d}r,(15)对式(15)分别计算关于b和α的一阶偏导数,得到Gβ(b,α)b=(1-β)-1∫pC-αpb0-prf(r)dr,Gβ(b,α)α=1-(1-β)-1∫pC-αpb0f(r)dr,令Gβ(b,α)b=Gβ(b,α)α=0,此时方程组无解。

情形④:当pC<α≤g(b-C)时,Gβ(b,α)=α+(1-β)-{1∫1gC+αgb[g(br-C)-α]f(r)d}r,(16)对式(16)分别求关于b和α的一阶偏导数得Gβ(b,α)b=(1-β)-1∫1gC+αgbgrf(r)dr,Gβ(b,α)α=1-(1-β)-1∫1gC+αgbf(r)dr,令Gβ(b,α)b=Gβ(b,α)α=0,此时方程组无解。情形⑤:当α>max{g(b-C),pC}时,Gβ(b,α)=α,此时Gβ(b,α)α=1≠0,显然不存在最优解。综上所述,当且仅当0<α<min{g(b-C),pC}时,Gβ(b,α)存在极小值,且最小值点满足极小值点,因此最小化问题minb≥C,α∈RGβ(b,α)存在全局最优解(b*,α*),且满足条件(9)。

证毕。由定理1可知,在乘客到达率r的概率分布是已知的情况下,通过条件(9)可以得到航空公司最优的超售水平b*,最优的VaR风险值为α*β(b)=α*,同时还可以得到最优的CVaR风险值为φ*β(b)=Gβ(b*,α*),期望损失为E[L(b*,r)]。

2最优超售策略

b*的性质命题1航空公司最优的机票超售水平b*与置信水平β的关系取决于函数h(r)=rf(r)的增减性。

证明:根据前面的论述得知航空公司最优的机票超售水平b*满足条件(9),因此可求得b*关于β的一阶偏导数b*β=pgb[3gC+αgbfgC+α()gb-pC-αpbfpC-α()]pb(pC+gC)2fpC-α()pbfgC+α()gb,由于0<α<min{g(b-C),pC},显然有gC+αgb>pC-αpb>0,且fpC-α()pb和fgC+α()gb均大于零,因此b*β的符号完全取决于函数h(r)=rf(r)的性质。情形①:当h(r)为单调递增函数时,则有gC+αgbfgC+α()gb>pC-αpbfpC-α()pb,此时b*β>0,这表明最优超售水平b*随置信水平β的增加而增加。情形②:当h(r)为单调递减函数时,则有gC+αgbfgC+α()gb<pC-αpbfpC-α()pb,此时b*β<0,说明最优超售水平b*随置信水平β的增加而减少。情形③:当h(r)既非单调递增也非单调递减时,b*β的正负性则取决于p、g、C以及β的具体数值,那么最优超售水平b*与置信水平β之间的关系也将视情况而定。证毕。

命题1说明航空公司最优超售水平b*受置信水平β和订票乘客到达率分布情况的影响。置信水平β对最优超售水平b*会产生怎样的影响取决于乘客到达率的分布情况,分布不同,影响也是不一样的。

命题2航空公司的最优超售水平b*随机票价格p的增加而增加;随单位超售损失g的增加而减少。证明航空公司最优的机票超售数额b*满足条件(9),据此可分别计算b*关于p和g的一阶偏导数,得到b*p=bαp(p+g)C+b3(p+g)2C2?pfpC-α()pb+gfgC+α()[]gb∫pC-αpb0rf(r)dr,b*g=-bαg(p+g)C-b3(p+g)2C2?pfpC-α()pb+gfgC+α()[]gb∫1gC+αgbf(r)dr,由于0<α<min{g(b-C),pC},显然有gC+αgb>pC-αpb>0,同时fpC-α()pb和fgC+α()gb均大于零,且h(r)=rf(r)≥0,于是有∫pC-αpb0rf(r)dr≥0,∫1gC+αgbf(r)dr≥0,因此有b*p≥0,b*g≤0,这表明最优机票超售水平b*随票价p的增加而增加;随单位超售损失g的增加而减少。

证毕。命题2表明机票价格p和单位超售损失g都会对航空公司的最优超售水平产生影响,机票价格越高,则超售的机票越多越好,单位超售损失越高,则超售的机票越少越好,这与航空公司的实际操作情况是相一致的。

3数值仿真

在航空公司的实际决策过程中,乘客到达率r的概率密度函数难以估计。为了说明和验证CVaR超售模型下最优策略的性质,假定乘客到达率r服从区间[m,n]上的均匀分布,m和n满足如下关系:0≤m≤r≤n≤1且m≠n,那么随机变量r的概率密度函数为f(r)=1n-m,m≤r≤n0。{others同时可知h(r)在区间r∈[m,n]上是单调递增函数。于是由条件(9)得到最优解b*=(p+g)C(p+g)(pm2+gn2)-pgβ2(n-m)槡2,α*=pgβ(n-m)C(p+g)(pm2+gn2)-pgβ2(n-m)槡2。下面用数值仿真的办法来说明和验证置信水平β、机票价格p、单位超售损失g等变量对最优超售水平b*,以及对应的期望损失E[L(b*,r)]、VaR、CVaR风险值的影响。设定如下参数:航班容量C=200(座),m=0.65,n=1.00,并保持不变。

3.1β对b*、E[L(b*,r)]、VaR、CVaR的影响

在设定机票价格p=500,单位超售损失g=400的情况下,最优超售水平b*、期望损失E[L(b*,r)]、VaR、CVaR风险值与置信水平β的关系如图1、图2、图3所示。从图1中可以看出最优超售水平b*随着置信水平β的增加而增加,这说明在乘客到达率r服从均匀分布的情况下(即h(r)是单调递增函数,相当于命题1中的情形①),航空公司决策者对风险规避的程度越低(β越小),所采取的超售决策更加保守(b*越小),反之决策者对风险的规避程度越高(β越大),所采取的超售决策则相对宽松(b*越大)。航空公司决策者风险规避程度的提高导致的结果就是期望损失E[L(b*,r)]的增加(如图2所示,E[L(b*,r)]随β的增加而增加),对此,航空公司决策者应该作好承担较大风险的准备。图3则显示了最优的VaR、CVaR风险值随置信水平β的变化趋势,随着β增大,VaR和CVaR值也在增大,同时发现CVaR值总是大于VaR值。事实上CVaR累积了超过某个VaR值的所有损失,刻画出了超售策略的整体风险,因此也就能更好地度量风险。

3.2p、g对b*的影响

在机票单位超售损失g=400,置信水平β=0.9保持不变的情况下,最优超售水平b*随机票价格p的变化趋势如图4所示,可以看出机票价格越高,航空公司为了减少损失,以便获取更多的利润,会超售更多的机票。图5给出了机票价格p=500,置信水平β=0.9情况下的最优超售水平b*随单位超售损失g的变化趋势,b*随着g增加而减少,说明单位超售损失越大,航空公司所采取的超售决策更加保守。图4和图5很好地验证了命题2的结论,与航空公司的实际决策情况是相符的。

4结论

本文主要研究了风险规避环境下的航空公司机票超售问题,以CVaR风险度量方法为基础构建了单一票价等级下的超售模型,并对模型进行优化处理,得到了最优超售水平满足的条件,进一步分析了航空公司决策者风险规避程度、到达率分布情况、机票价格、单位超售损失等因素对最优超售水平的影响,得到了一些有意义的结论,试图为航空公司的决策者提供一些管理启示和决策建议。研究结果表明:最优超售水平依赖于订票乘客到达率的分布情况和航空公司决策者对风险规避的程度,比如在乘客到达率呈现均匀分布的情况下,决策者风险规避程度越低(高),最优超售水平越低(高);同时机票价格和单位超售损失对最优超售水平影响显著,票价越高,超售水平越高,而单位超售损失越大,超售水平则越低。关于航空公司的机票超售问题,还有很多地方值得进一步的思考和研究,比如多票价等级下的超售问题、动态超售问题等,本文的研究为这些问题的探索提供了一种新的思路和视角。


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